Existe una cierta controversia en torno a quién descubrió el archifamoso conjunto de Mandelbrot, aunque basta con ver el nombre para hacerse una idea de quién, cardara o no la lana, se llevó la fama. Lo descubriera quien lo descubriera, sí es cierto que fue Benoît Mandelbrot, matemático polaco, quien lo estudió y lo popularizó. Mandelbrot es conocido por haber acuñado en el año 75 el término fractal, que se refiere a objetos geométricos en los que ciertos patrones se repiten a diferentes escalas. En vida también era conocido, al menos entre quienes trataban con él personalmente, por ser un tipo bastante huraño y orgulloso. La controversia arriba mencionada guarda relación con esto último.
Un par de conceptos antes de entrar al asunto. Un conjunto en matemáticas, como en la vida cotidiana, es una colección de objetos. Por ejemplo, el conjunto de los números pares es la colección de los infinitos enteros divisibles por dos. El conjunto de Mandelbrot no es una colección de números enteros, sino de números complejos. Los números complejos tienen dos partes: una parte real y otra parte imaginaria. En el número complejo 2+3i, por dar un ejemplo, la parte real es 2 y la imaginaria, 3. La letra ‘i’ recibe el nombre de unidad imaginaria y tiene la curiosa propiedad de que i por i es igual a -1. Cosas de la vida. A nosotros lo que nos interesa es que es posible visualizar un número complejo en el llamado plano complejo, que no es más que un plano cartesiano en el que la parte imaginaria está representada en el «eje de la y» y la parte real en el «eje de la x». El número complejo 2+3i tendría la siguiente representación:
Segundo y último concepto que debemos conocer y seguimos. Una ecuación recursiva es un tipo especial de ecuación que define una secuencia de números, donde cada número (salvo un conjunto de números iniciales o casos base) está definido en relación a los anteriores. La famosa serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…), por ejemplo, está definida por una ecuación recursiva que establece que cada uno de sus elementos es la suma de los dos anteriores. Podemos ver claramente que la serie de Fibonacci no está acotada, esto es, sus números se van haciendo cada vez más y más grandes y se escapan hacia el infinito.
¡Por fin podemos definir con algo de propiedad el conjunto de Mandelbrot! Y es que el conjunto de Mandelbrot está definido también por una ecuación recursiva, aunque de un modo un tanto peculiar. Según el número complejo que, hablando en lenguaje coloquial, le demos de comer (a través de la variable c) a esta ecuación, generará una secuencia de números complejos que, o bien se escaparán hacia el infinito (como los de la serie de Fibonacci), o bien permanecerán acotados en el interior de un cierto radio en el plano complejo.
El conjunto de Mandelbrot es justamente el conjunto de aquellos números complejos que no hacen que la serie expresada por la ecuación de arriba se escape al infinito o diverja. Sólo algunos números complejos tienen esa propiedad. Pues bien, si cogemos todos esos números complejos y los dibujamos en el plano complejo, obtenemos la casi icónica figura del fractal de Mandelbrot:
El fractal de Mandelbrot es fascinante por sus elegantes y bellísimas formas y por la escala verdaderamente gigante del universo que alberga. Podemos pasar días y días computando las profundidades más abisales del fractal y, de repente, encontrárnoslo entero otra vez en algún recoveco perdido (por eso decimos que el conjunto de Mandelbrot es un fractal autosimilar). Se han explorado zonas tan profundas del conjunto que, a tamaño completo, éste ocuparía un área parecida a la contenida por la órbita de Plutón. En sus representaciones, se suelen usar códigos de colores, asignando colores más oscuros a aquellas zonas que divergen más lentamente y viceversa. El resultado son espectaculares sinfonías de simetrías y colores que nos hacen preguntarnos qué demonios esconden las matemáticas.