Contar es casi lo primero que aprendemos en la vida, y no es para menos: contar es algo que hacemos todos los días y a todas horas. Es de esperar, pues, que con el contar nos ocurra algo similar a lo que nos ocurre con las cosas que vemos siempre: que dejamos de verlas. El predominio del sistema de numeración decimal es tal que la mayoría de las personas no sospecha que de hecho se puede contar de muchas otras formas.

Existen tantas formas de contar como números: infinitas. La electrónica digital, por ejemplo, sigue un sistema binario. El sistema binario sólo consta de dos números: el 0 y el 1. Después del 0 viene el 1 y, después del 1, el 10. Aunque resulte extraño, es posible expresar cualquier número usando exclusivamente el 0 y el 1. Otro sistema muy usado hoy, también en el ámbito de la informática, es el hexadecimal, que cuenta de 16 en 16. Así, después del 9 no viene el 10, sino el a. El número 15 es el f; y, por fin, después del f, vamos al 10 hexadecimal, que equivale al 16 decimal.

Que a los seres humanos nos guste tanto contar de 10 en 10 es fácilmente entendible en el instante en el que uno repara en que tenemos diez dedos. Esto es algo que tiene su miga. Existe una tendencia a considerar las matemáticas como un mundo perfecto, autónomo y cerrado al exterior; pero hete aquí que la misma forma de expresar los números se debe a algo tan pedestre como nuestra configuración biológica. Acaso si tuviéramos 11 dedos contaríamos de 11 en 11, y números tan icónicos como Pi o el número \boldsymbol{e}\, tendrían un aspecto totalmente distinto. Claro, que Pi o \boldsymbol{e}\, son bastante más que una sucesión de símbolos.

¡Están locos estos galos!

Basta con echar un somero vistazo a la anatomía humana para hacerse una idea de qué sistemas de numeración pueden haber sido usados a lo largo de la historia. Una de las formas más sencillas de contar es usar referencias, ¿y qué referencias más socorridas que las que llevamos de serie en nuestro propio cuerpo?

Las que más a mano tenemos, valga el chiste, están en nuestras propias manos. Hemos hablado de nuestros diez dedos. Hay pueblos, sin embargo, que han usado además los dedos de los pies, produciendo un sistema vigesimal o de base 20. Entre ellos tenemos a los mayas o a los mismos galos. De ahí que los descendientes de estos últimos, los franceses, para decir 80, digan cuatro-veinte o quatrevingt.

Uno de los sistemas de numeración más singulares que han existido fue justamente el de la civilización más antigua del mundo: la civilización sumeria. Ésta fue reemplazada en torno al s. XX A.C. por la civilización babilónica, que continuó dicho dicho sistema, aunque introduciendo en él uno de los avances más importantes de la historia de la numeración: la posicionalidad. De ella hablaremos más adelante. Lo complicado de entender de este sistema no es su funcionamiento: abundan vídeos en YouTube que explican con todo detalle cómo escribir cualquier número como lo hicieran los babilonios en sus tablillas de barro. Lo complicado de entender, de desentrañar, es por qué demonios estos hombres contaban de 60 en 60, o usando lo que se conoce como un sistema sexagesimal. Se han propuesto multitud de explicaciones para dar cuenta de esta singularidad, desde los abundantes divisores de 60 (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12…) hasta el hecho de que los sumerios solían usar a menudo las fracciones 1/3 y 2/3 en su sistema de medidas, y esas fracciones producen enteros cuando se aplican a 60. Pero aquí nos estaríamos topando con la paradoja del huevo y la gallina.

¡Que levanten la mano los que estén a favor de contar en base 77!

El error, como bien habrás visto, reside en pensar que las civilizaciones deciden qué sistema de numeración van a usar, acaso en un gran cónclave en el que se reúnen los más sabios del momento. Los sistemas de numeración son antiquísimas cargas culturales que las sociedades arrastran durante milenios sin saber bien por qué. De igual modo que nosotros contamos de 10 en 10 porque a nuestros antepasados les debió de resultar intuitivo contar usando los 10 dedos que suman ambas manos, los antepasados de los sumerios debieron de encontrar fácil el contar de 60 en 60.

Una de las teorías propuestas más creíbles postula que posiblemente estos hombres antiguos contaran usando las tres falanges en las que sedividen los dedos. Si uno va contando cada una de las falanges de cada uno de los dedos de una de las manos, exceptuando el pulgar, contará doce en total. Si repite el proceso una vez por cada uno de los cinco dedos de la otra mano (usándolos como punteros), contará hasta 60. Otra teoría que es vista con buenos ojos es que los sumerios podrían haber sido el resultado de la convergencia de dos pueblos con sistemas de numeración distintos, uno de ellos con un sistema de base 12 y otro con un sistema de base 5. 60 es simplemente el mínimo común múltiplo de ambos números. Otra posibilidad es que uno de estos pueblos tuviera un sistema de base 6 y el otro, uno de base 10. Esta versión tiene cierto anclaje en la propia grafía de los números sumerios, y es que los dos símbolos básicos usados en este sistema son justamente el 1 y el 10. La combinación de estos dos símbolos puede producir cualquier número.

Y ya que estamos hablando de la civilización más antigua conocida, la sumeria, podemos traer a colación a los annunakis, de los que se suele decir que tendrían 6 dedos tanto en las manos como en los pies. Si estos seres existieran de verdad, también ellos serían el resultado de un lento proceso evolutivo, y también ellos habrían pasado por fases muy primitivas de civilización y se habrían ayudado de sus dedos para contar. Y, teniendo seis dedos, habrían producido un sistema de base 6. Este sistema, en combinación con el decimal humano, habría dado lugar al sistema sexagesimal sumerio. Aquí termina la nota magufa del artículo.

Hemos mencionado que la novedad principal introducida por los babilonios en el sistema sexagesimalsumerio fue la notación posicional. Esto es, cada sexígito (sí, me acabo de inventar la palabra) tenía un valor u otro según su posición dentro del número. Nosotros también usamos un sistema posicional: el 1 en el número 10 no vale lo mismo que el 1 en el número 1.000.000, especialmente si se trata de euros. En el sistema babilónico, la muesca que simboliza el 1, al moverse una posición a la izquierda, pasa a simbolizar el 60. Esta característica facilitaba enormemente las operaciones matemáticas, y fue responsable de que los babilonios alcanzaran una excelencia matemática que los romanos, con su tosco y absurdo sistema de numeración, no pudieron ni soñar.

Por donde lo ves, la raíz cuadrada de 2

Los babilonios acometieron verdaderas proezas matemáticas. En la tableta de barro catalogada con el abstruso nombre YBC7289 se encuentra una aproximación de la raíz cuadrada de 2, con un valor de 1.4142127 y un error en el orden de las millonésimas. Sabían resolver ecuaciones cuadráticas y algunas cúbicas.

Claudio Ptolomeo

La trascendencia del sistema sexagesimal mesopotámico no puede subrayarse lo suficiente. Astrónomos griegos llevaron a cabo la división de la circunferencia en 360 grados, quizá como redondeo de los 365 días del año y para facilitar las operaciones en base 60. Más tarde, en su Almagesto, Claudio Ptolomeo dividió cada grado en 60 partes minutae (o partes diminutas), y cada una de estas partes minutae fueron divididas en partes minutae secundae (o partes diminutas segundas).  Estas sucesivas divisiones en 60 partes fueron transportadas al sistema ideado por los egipcios de 24 horas; con la aparición de los primeros relojes mecánicos en el s. XVI, se generalizó la división de cada hora en 60 partes minutae o minutos, y cada minuto fue seccionado en 60 partes minutae secundae o segundos. Y así es que, en algo tan fundamental y consabido como nuestro sistema de medición del tiempo, también nosotros, y no sólo la mesopotámica, somos la civilización que cuenta de 60 en 60.

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